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본 연구에서는 포텐셜 유동 이론을 기반으로 한 이차원 시간 영역 수치 조파 수조기법을 이용하였다. 수치조파수조나 경계요소법을 이용한 OWC 계산은 기존 여러 연구 결과들에서 확인할 수 있기에, 본 논문에서는 경계조건과 수치해석 기법에 대해 간략하게 소개하였다. 경계조건식 등은 비선형항을 모두 포함하여 작성하였으나, 이 중 본 연구에서는 선형식만을 고려하여 계산을 수행하였다. 계산영역내의 유체 유동을 비압축성, 비점성, 비회전성의 포텐셜 유동으로 가정하였다. 이때 계산영역은 좌측 입사 경계면과 정수면(z=0)의 교점을 원점으로 하는 직교 좌표계를 사용 하였다. 유체 유동은 연속방정식을 만족하며, 비압축성 유동일 경우 전체 계산 영역에 대한 지배 방정식으로서 라플라스 방정식(Laplace equation)이 성립한다.

자유표면은 해수와 대기가 공존하는 경계층으로서, 이를 수치적으로 표현하기 위해서는 두 가지 자유수면 경계조건(동역학적, 운동학적)을 만족해야하며 아래와 같이 비선형 경계조건으로 나타낼 수 있으며, 선형계산 시 2차항으로 표현되는 비선형항은 무시한다.

식 (2)와 (3)은 각각 자유표면에서의 동역학적, 운동학적 경계조건이다. g는 중력가속도, ρ는 물의 밀도이다. P_a는 자유수면에서는 0 이지만, 공기챔버 내부의 자유수면에서는 압력이 존재하며, 공기 챔버 너비와 조건에 따라서 공기감쇠계수가 변할 수 있다. 운동학적 자유표면은 유체 입자가 자유표면을 벗어날 수 없고, 항상 자유표면과 같은 위치에 있어야 한다는 조건(z = η)을 만족해야한다. 또한 해저 바닥면 경계조건과 우측 벽면 경계조건은 평평하고 불 투과성 조건을 가정하여 식 (4)와 같이 나타낼 수 있다.

좌측 입사파 경계면은 선형 유체 입자 속도를 입사파 속도 포텐셜로 나타내어 경계조건에 식 (5)와 같이 대입하였다.

여기서, A는 파의 진폭(Wave amplitude), k는 파수(Wave number), h는 수심, ω는 입사파의 주파수이고 n_x는 x방향의 법선벡터이다.

위와 같은 경계조건과 함께 지배방정식인 라플라스 방정식을 풀기위해 그린 함수(Green function)을 사용하여 지배방정식을 경계 적분 방정식(Boundary Integral Equation)으로 변환하고, 일정 패널법(CPM: Constant Panel Method)을 통해 각 요소(Element)를 이산화 하고 이를 수치적으로 해석하였다.

여기서 α는 입체각으로서 CPM기법에서 경계면에서는 -0.5가 되며, G(x_i, z_i, x_j, z_j)는 이차원에서의 라플라스 방정식을 만족하는 그린 함수이다. R₁은 경계면에 위치한 각 소스점(Source point)과 필드점(Field point)과의 거리이다.

본 연구에서는 선형 계산만을 다뤘으나, 여기서 비선형 자유표면 계산에 대해 간단히 언급하고자 한다. 비선형 해석시 입사하는 파랑에 대하여 매 단위 시간마다 변하는 자유표면을 재현하기 위해 혼합 오일러-라그랑지안(Mixed Eulerian-Lagrangian)기법을 사용한다. 이때 자유표면의 경계조건은 전미분식(δ/δt=∂/∂t+ν→⋅∇)을 통해 변형 시키고, 자유표면의 노드 속도(ν→)가 유체 입자 속도(∇ϕ)와 동일(ν→=∇ϕ)하다고 가정하면 아래와 같은 자유표면 경계조건이 성립하게 된다.

OWC 공기챔버 내부의 자유표면의 변위에 따라 챔버 내부에 공기 압력이 발생한다. 발생된 공기 압력은 챔버 상단부 입구(Air nozzle)에 설치되는 터빈을 통해 전기에너지로 변환된다고 가정하였다. 본 연구에서는 Koo et al.[2010]에서 수행한 진동수주 챔버 모델링을 기반으로, 공기 압력의 조정을 통해 챔버내의 에너지 변환 효율을 향상시키기 위해 Sarmento and Falcao[1985]의 이론해를 공기 챔버 계수로 적용하여 그에 따른 에너지 변환 효율을 분석하였다.

공기감쇠계수(C)는 Sarmento and Falcao[1985]에서 제시한 터빈계수로서 아래와 같이 나타낼 수 있다. 이는 챔버내의 공기압과 이를 전기에너지로 변환하는 에너지 변환 계수와 유사한 의미를 가진다.

여기서 K는 파수, h는 수심, a는 공기챔버의 폭이다. u는 공기챔버 내부 자유표면에서의 공기유량이며 ξ는 압축성 공기의 스프링효과로서 본 연구에서는 0을 적용하였다. m은 (1+αhcosech²Kh)^-1과 같으며 이때 α는 ω²/g와 같다.

Fig. 1은 Sarmento and Falcao[1985]에서 제시한 해석해를 수심 및 공기챔버 너비의 변화에 따라 계산한 터빈계수(C)를 나타낸 것이다. 계산된 터빈계수는 공기챔버의 너비와 수심에 따라 변화하며, 본 수치계산에서 획득한 터빈계수는 기존 결과와 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. Fig. 2는 무한수심 조건에서 최대값을 가지는 터빈계수, C=1.628 을 적용하여, 입사파장 대비 공기챔버 폭에 따른 에너지 추출효율을 계산한 것이다. 이론값과 본 수치해석 결과가 잘 일치하는 것을 알 수 있다. 또한, 계산된 에너지 추출효율은 챔버의 상대 폭에 따라 변하며, 입사파장 대비 약 20% 일 때 챔버내에서 최대 에너지 추출효율을 가지는 것으로 확인되었다.

Fig. 1. 
Comparison of various turbine coefficients as a function of relative chamber width and relative water depth.

Fig. 2. 
Comparison of energy extraction efficiency as a function of relative chamber width (C=1.628, Deepwater condition).

챔버 내부에서의 공기 압력의 변화 P_a(t)는 공기챔버 내 공기의 체적변화에 의해 발생되는 것으로 가정하게 되면 Boyle법칙에 기초한 다음의 상태방정식으로 나타낼 수 있다.

여기서 Q(t)는 공기챔버에서 추출되는 유량이고, A_d는 챔버 상단부 덕트의 투영면적이다. U_d(t)는 매 단위 시간마다 터빈을 통해 외부로 빠져 나가는 공기의 흐름속도이며 이는 비압축성 공기조건과 관련하여 다음과 같이 정의된다.

여기서 ΔV = V_t− V_t−Δt는 공기챔버 내부의 공기체적 변화량이다. 식 (11)과 (12)의 연산을 통해 얻을 수 있는 매 단위 시간마다의 공기 압력은 식 (13)과 같으며, 이를 식 (2)에서 선형항만 고려한 식에 대입하여 단위 시간마다 공기압력에 의한 자유표면의 변위를 식 (14)와 같이 나타낼 수 있다.

본 연구에서는 수치조파수조 내 진동수주형 파력발전 시스템을 통해 발생하는 추출 에너지와 입사하는 파랑의 에너지를 비교하였다. 입사하는 파랑의 에너지는 파 진폭의 제곱에 비례하고 에너지 유동은 파랑에너지와 그 전달 속도, 즉 군속도(Group velocity)의 연산으로 나타낼 수 있다. 진동수주형 파력발전장치가 모사된 포텐셜 유동기반의 수치조파수조 계산영역에서는 입사파 에너지 플럭스(식 15), 구조물에 의해 반사되는 반사에너지 플럭스(식 16), 공기챔버에 의해 추출되는 에너지(식 17) 등 총 세 가지 에너지 요소가 존재한다.

여기서, E_i, E_R은 각각 입사파 에너지와 반사 에너지를 나타내며, C_g는 군속도, A_i, A_R은 각각 입사파 진폭과 반사파 진폭이다. 공기챔버 내에서 추출되는 평균 에너지유동은 공기압력과의 연산으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 z˙→는 매 단위 시간마다 챔버내 자유표면의 평균 수직 속도이며, 공기챔버 내 한 파주기(1 T)에서 단위 시간마다 추출되는 에너지 플럭스는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

최종적으로 공기챔버 내에서 추출되는 에너지 (Energy flux)는 식 (19-1)와 같이 본 연구에서 적용한 공기감쇠 계수(C)를 포함한 단순식으로 나타낼 수 있다. 위 결과는 Koo et al.[2010]에서 제시한 공기 압력에 의한 터빈의 에너지 추출식(식 19-2, AP)과 같으며, 두 식의 유사성을 통해 식 (19-3)과 같은 관계식으로 나타낼 수 있다. 여기서 C_dm은 Koo et al.[2010]에서 제시한 공기챔버와 덕트간의 부피비 계수(=추출계수)이며, 이는 일종의 시행착오(Trial and error) 형식으로 구한 값이며, C_dm이 증가함에 따라 덕트 내 공기 유속이 증가하고 공기챔버 압력이 커지면서 그에 따른 파력에너지양이 증가한다는 것을 제시하였다. C_dm은 최종적으로 실험 결과와 비교하여 정확한 값을 구할 수 있다.

따라서 본 연구에서 적용한 공기감쇠 계수 이론해(C, 터빈계수)와 기존 연구의 C_dm과의 관계식을 통해, 본 연구에서 제시하는 다양한 챔버 크기에 적용할 수 있는 터빈계수 이론해의 타당성과 확장성을 확인하고자 하였다.

유체에서 에너지 보존이 충족 되려면 공기챔버에 의해 발생하는 반사 에너지 플럭스와 추출되는 에너지 플럭스의 합이 입사하는 파랑에너지 플럭스와 같아야 하며 다음과 같이 나타낼 수 있다.

최종적으로 계산되는 에너지추출효율은 식 (21)과 같다.

유한한 길이의 계산 영역을 가지고 있는 이차원 수치조파수조는 입사하는 파랑이 구조물 반사로 인해 불필요한 반사파가 발생할 수 있다(Kwon et al.[2019]). 특히, 반사파가 입사파 경계면으로 되돌아 오면, 계산 영역내로 입사 파랑을 일정하게 유지하기가 어려워진다. 본 연구에서는 불 투과성인 조파(입사파) 경계면에 반사되어 되돌아 오는 파랑의 영향을 최소화하기 위해 ϕ_n−η 타입의 감쇠항에 램프함수(식 24)를 적용하여 자유표면 경계조건에 추가하였다(식 22, 23). 감쇠항이 적용되는 구간인 인공 감쇠 영역(Artificial damping zone)은 계산영역 내 좌측 조파 경계면으로부터 입사파장의 2배 길이까지 이다.

여기서 ∂ϕ∗/∂n, η∗는 반사파가 포함되지 않은 속도 포텐셜 미분값 및 자유표면 변화에 대한 이론값이며, μ_0i는 인공 감쇠 계수로 μ₀₂ = kμ₀₁의 관계를 갖는다.

본 연구는 고정식 진동 수주형 파력발전장치(OWC)의 에너지추출효율을 향상시키기 위한 기초 연구로서, 챔버 구조물 형상에 이론해 터빈 계수를 적용하여 챔버의 물리적 변수에 대한 매개변수 해석을 수행하여 OWC 파력발전장치의 효율에 미치는 영향을 분석하였다. Fig. 3은 OWC 모델이 적용된 이차원 시간 영역 수치조파수조의 전체 계산영역을 도식화 한 것이다. 여기서 d, B는 각각 공기챔버의 스커트(skirt)의 흘수(draft)와 두께(thickness)를 나타내며, gap은 공기챔버의 너비(폭)를 나타낸다. 본 연구에서는 시간에 따른 자유표면의 변위를 수치적으로 정확하게 재현하기 위해 수렴도 평가를 수행하였고, 입사파의 한 파장당 자유표면의 노드 개수를 40개, 시간 간격은 T/64로 설정하였다.

Fig. 3. 
Overview of computational domain for an Oscillating Water Column.

Table 1은 앞서 언급한 Liu et al.[2010]이 수행한 OWC모델의 제원을 나타낸 것이며, Fig. 4는 터빈계수(C)를 포함한 모든 동일한 제원으로 계산된 에너지추출효율을 두 선행연구의 결과와 비교한 것이다. 흘수가 0(d/λ=0)인 한계 조건에서 에너지추출효율은 기존결과와 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 4. 
Comparison of energy extraction efficiency as a function of relative chamber width (C=1.628, d=0, deep water condition).

일반적으로 한반도 주변 해역의 평균 유의파고와 유의파주기는 각각 0.5~2.0 m, 4~6초로 알려져 있다. 본 연구에서는 이를 고려한 파고 1 m, 파주기 4초를 목표 파랑조건으로 설정하였으며, 수심은 바닥면의 형상에 따른 영향을 고려할 수 있는 중층수(Intermediate water) 깊이구간인 10 m(h/λ=0.4054)로 설정하였다. 그에 따른 공기감쇠계수는 정해진 수심에 따라 변화하는 터빈계수이며, 이때 Sarmento and Falcao[1985]의 이론해를 통해 계산된 이론상 최대 에너지추출효율을 갖는 터빈 계수 값(gap/λ=0.2 조건에서)은 Fig. 5의 계산 결과를 통해 C=1.574 인 것을 알 수 있다. Fig. 5는 임의의 공기감쇠계수(C=0~5)에 대한 에너지 추출효율을 나타낸 것으로, 감쇠계수가 1.574 보다 작으면 효율이 급격히 떨어지지만, 감쇠계수가 최댓값보다 크면 효율이 서서히 감소함을 알 수 있다.

Fig. 5. 
Comparison of energy extraction efficiency according to various air damping coefficients (C), (gap/λ=0.2, h/λ=0.4054, B=0.05λ, d=0).

입사하는 파랑에너지 플럭스에 대한 OWC의 각 요소별 에너지 플럭스와 총 에너지 플럭스의 합을 비교하여 Fig. 6에 나타내었다. 이때 각 요소별 에너지 플럭스는 입사파랑 에너지 플럭스로 나눈 무차원화 된 값을 %로 나타내었다. 고정된 OWC 구조물에 의해 발생하는 에너지는 챔버내 공기압력으로 인해 추출되는 파력에너지와 반사파 에너지가 존재하며, 두 에너지 플럭스의 합은 입사파 에너지 플럭스와 같은데, 이는 계산 영역내에서 에너지가 일정하게 유지되는 것으로 판단할 수 있으며, 수치 계산의 신뢰성을 확인할 수 있다.

Fig. 6. 
Energy conservation for an OWC according to dimensionless chamber length (gap/λ) (C=1.574).

앞서 언급한 Fig. 5와 같이 수치 해석 결과 검증을 위해 사용한 제한적인 흘수 조건(d=0)과 스커트(B=0.05λ)에서의 에너지추출효율은 이상적인 값이기 때문에, 본 연구에서는 Table 2의 제원과 같이 한반도 주변 해역의 평균적인 해상환경을 가정하여 에너지추출효율을 계산하였다. 이때 스커트의 흘수와 두께의 크기는 입사파장으로 나눈 무차원화 된 값을 사용하였고, 챔버 노즐(Air Nozzle)의 투영 면적은 진동수주형 챔버에서 사용되는 웰스터빈이나 임펄스 터빈을 설치할 수 있을 충분한 크기로 가정하였다. 따라서 챔버 내의 공기가 압축되면서 발생할 수 있는 열 변화 등은 무시하였다.

본 연구에서는 스커트의 형상 변화에 따른 진동 수주형 파력발전장치의 에너지추출효율을 추정하였다. Fig. 7은 각각 스커트 두께와 흘수 변화에 따른 에너지추출효율을 계산한 것이다. 이때 입사파장 대비 공기챔버의 폭(gap/λ)은 최대 에너지효율에 근접한 0.2를 사용하였고, 에너지추출효율은 공기챔버에 의해 추출되는 에너지에 입사파 에너지로 나눈 무차원화 된 값을 사용하여 %로 나타내었다. 계산된 에너지추출효율은 스커트의 두께(B)와 흘수(d)가 증가함에 따라 감소하는 것을 확인할 수 있다. 이는 구조물의 두께와 흘수의 크기가 증가하면서 입사하는 파랑이 구조물에 의해 반사되어 공기챔버 내에서 추출되는 에너지효율이 상대적으로 감소하는 것으로 판단된다.

Fig. 7. 
Variation of energy extraction efficiencies according to skirt thickness (B/λ) and draft ratios (d/λ) (C=1.574).

Fig. 8과 Fig. 9에서는 OWC 챔버 구조물의 각 변수들에 대한 매개변수 해석을 수행하였다. 공기감쇠계수의 유무, 즉 Open 챔버 조건(터빈 계수 = 0)과 노즐을 통한 공기압 발생 조건(터빈 계수 = 1.574 조건)에 따른 챔버내 자유표면의 변위를 조사하였다. 파력에너지의 추출양은 터빈계수의 유무에 따른 챔버 자유수면 변화의 차이만큼 가능하다고 판단할 수 있다.

Fig. 8. 
Chamber wave elevations for various skirt draft ratios (d/λ) (B/λ=0.05, C=1.574).

Fig. 9. 
Chamber wave elevations for various skirt thickness ratios (B/λ) (d/λ=0.05, C=1.574).

매개변수 해석은 챔버 폭에 대한 최대 에너지 추출효율을 가지는 터빈계수를 이론해를 통해 먼저 구한 후, 다른 변수에 대한 영향을 파악하고자 스커트 폭 비율(B/λ=0.05)과 흘수비(d/λ=0.05)중 하나를 고정하고 다른 한 변수를 변화시키면서 각 변수의 영향을 파악하였다. Fig. 8과 Fig. 9의 결과를 통해 공기감쇠계수가 적용되지 않은 Open 챔버에서 흘수비가 0.05이하 일 때 자유표면의 변위가 최대인 것을 알 수 있고, 공기감쇠계수가 적용되었을 때는 약 50% 감소하여 그 차이만큼 에너지추출효율이 크게 증가함을 판단할 수 있다. 이와 같은 방법을 통해 OWC 구조물의 물리적 크기 변수가 에너지 추출효율에 미치는 영향을 파악하고 챔버 구조물의 구체적인 형상을 정할 수 있다. 실제로 진동 수주형 파력발전장치를 설계하고 설치하기 위해서는 추출되는 에너지 효율뿐만이 아니라 구조물의 형상에 따른 구조적 안정성을 고려해야 한다. 본 연구는 제시한 수치해석방법을 통해 목적하는 해상조건에서의 OWC 최적 형상을 결정하기 위한 기초 정보를 보다 간편하게 계산 및 제공할 수 있다는 점에 의의가 있다.